En matemáticas , la regla de Pascal es una identidad combinatórica sobre los coeficientes binomiales . La regla dice que para cada número natural n se tiene que
(
n
−
1
k
)
+
(
n
−
1
k
−
1
)
=
(
n
k
)
para
1
≤
k
≤
n
{\displaystyle {n-1 \choose k}+{n-1 \choose k-1}={n \choose k}\quad {\text{para }}1\leq k\leq n}
donde
(
n
k
)
{\displaystyle {n \choose k}}
(
n
k
)
+
(
n
k
−
1
)
=
(
n
+
1
k
)
para
1
≤
k
≤
n
+
1
{\displaystyle {n \choose k}+{n \choose k-1}={n+1 \choose k}\quad {\text{para }}1\leq k\leq n+1}
Demostración combinatoria [ editar ] Ilustración de demostración combinacional:
(
4
1
)
+
(
4
2
)
=
(
5
2
)
.
{\displaystyle {\binom {4}{1}}+{\binom {4}{2}}={\binom {5}{2}}.}
La regla de Pascal tiene un significado combinacional intuitivo, que se expresa claramente en esta prueba de conteo.[ 1]
Demostración: Recordemos que
(
n
k
)
{\displaystyle {n \choose k}}
k elementos de un conjunto con n elementos. Supongamos que un elemento en particular es etiquetado como X en un conjunto con n elementos.
Para construir un subconjunto de k elementos que contenga X , cogemos X y k-1 elementos de los n-1 elementos restantes del conjunto. Entonces habría
(
n
−
1
k
−
1
)
{\displaystyle {n-1 \choose k-1}}
Para construir un subconjunto de k elementos que no contengan X , cogemos k elementos de los n-1 elementos restantes del conjunto. Entonces habría
(
n
−
1
k
)
{\displaystyle {n-1 \choose k}}
Cada subconjunto de k elementos puede contener X o no. El número total de subconjuntos con k elementos en un conjunto de n elementos es la suma del número de subconjuntos que contienen X y el número de subconjuntos que no contienen X,
(
n
−
1
k
−
1
)
+
(
n
−
1
k
)
{\displaystyle {n-1 \choose k-1}+{n-1 \choose k}}
Por lo tanto,
(
n
k
)
=
(
n
−
1
k
−
1
)
+
(
n
−
1
k
)
{\displaystyle {n \choose k}={n-1 \choose k-1}+{n-1 \choose k}}
Demostración algebraica [ editar ] Alternativamente, la derivación algebraica del caso binomial es la siguiente:
(
n
−
1
k
)
+
(
n
−
1
k
−
1
)
=
(
n
−
1
)
!
k
!
(
n
−
1
−
k
)
!
+
(
n
−
1
)
!
(
k
−
1
)
!
(
n
−
k
)
!
=
(
n
−
1
)
!
[
n
−
k
k
!
(
n
−
k
)
!
+
k
k
!
(
n
−
k
)
!
]
=
(
n
−
1
)
!
n
k
!
(
n
−
k
)
!
=
n
!
k
!
(
n
−
k
)
!
=
(
n
k
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{n-1 \choose k}+{n-1 \choose k-1}&={\frac {(n-1)!}{k!(n-1-k)!}}+{\frac {(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}}\\&=(n-1)!\left[{\frac {n-k}{k!(n-k)!}}+{\frac {k}{k!(n-k)!}}\right]\\&=(n-1)!{\frac {n}{k!(n-k)!}}\\&={\frac {n!}{k!(n-k)!}}\\&={\binom {n}{k}}.\end{aligned}}}
Generalización [ editar ] La regla de Pascal puede generalizarse a coeficientes multinomiales.[ 2] p tal que
p
≥
2
{\displaystyle p\geq 2}
k
1
,
k
2
,
k
3
,
…
,
k
p
∈
N
∗
{\displaystyle k_{1},k_{2},k_{3},\dots ,k_{p}\in \mathbb {N} ^{*}}
n
=
k
1
+
k
2
+
k
3
+
⋯
+
k
p
≥
1
{\displaystyle n=k_{1}+k_{2}+k_{3}+\cdots +k_{p}\geq 1}
(
n
−
1
k
1
−
1
,
k
2
,
k
3
,
…
,
k
p
)
+
(
n
−
1
k
1
,
k
2
−
1
,
k
3
,
…
,
k
p
)
+
⋯
+
(
n
−
1
k
1
,
k
2
,
k
3
,
…
,
k
p
−
1
)
=
(
n
k
1
,
k
2
,
k
3
,
…
,
k
p
)
{\displaystyle {n-1 \choose k_{1}-1,k_{2},k_{3},\dots ,k_{p}}+{n-1 \choose k_{1},k_{2}-1,k_{3},\dots ,k_{p}}+\cdots +{n-1 \choose k_{1},k_{2},k_{3},\dots ,k_{p}-1}={n \choose k_{1},k_{2},k_{3},\dots ,k_{p}}}
(
n
k
1
,
k
2
,
k
3
,
…
,
k
p
)
{\displaystyle {n \choose k_{1},k_{2},k_{3},\dots ,k_{p}}}
x
1
k
1
x
2
k
2
…
x
p
k
p
{\displaystyle x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\dots x_{p}^{k_{p}}}
(
x
1
+
x
2
+
⋯
+
x
p
)
n
{\displaystyle (x_{1}+x_{2}+\dots +x_{p})^{n}}
p un entero tal que
p
≥
2
{\displaystyle p\geq 2}
k
1
,
k
2
,
k
3
,
…
,
k
p
∈
N
∗
{\displaystyle k_{1},k_{2},k_{3},\dots ,k_{p}\in \mathbb {N} ^{*}}
n
=
k
1
+
k
2
+
k
3
+
⋯
+
k
p
≥
1
{\displaystyle n=k_{1}+k_{2}+k_{3}+\cdots +k_{p}\geq 1}
(
n
−
1
k
1
−
1
,
k
2
,
k
3
,
…
,
k
p
)
+
(
n
−
1
k
1
,
k
2
−
1
,
k
3
,
…
,
k
p
)
+
⋯
+
(
n
−
1
k
1
,
k
2
,
k
3
,
…
,
k
p
−
1
)
=
(
n
−
1
)
!
(
k
1
−
1
)
!
k
2
!
k
3
!
⋯
k
p
!
+
(
n
−
1
)
!
k
1
!
(
k
2
−
1
)
!
k
3
!
⋯
k
p
!
+
⋯
+
(
n
−
1
)
!
k
1
!
k
2
!
k
3
!
⋯
(
k
p
−
1
)
!
=
k
1
(
n
−
1
)
!
k
1
!
k
2
!
k
3
!
⋯
k
p
!
+
k
2
(
n
−
1
)
!
k
1
!
k
2
!
k
3
!
⋯
k
p
!
+
⋯
+
k
p
(
n
−
1
)
!
k
1
!
k
2
!
k
3
!
⋯
k
p
!
=
(
k
1
+
k
2
+
⋯
+
k
p
)
(
n
−
1
)
!
k
1
!
k
2
!
k
3
!
⋯
k
p
!
=
n
(
n
−
1
)
!
k
1
!
k
2
!
k
3
!
⋯
k
p
!
=
n
!
k
1
!
k
2
!
k
3
!
⋯
k
p
!
=
(
n
k
1
,
k
2
,
k
3
,
…
,
k
p
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad {n-1 \choose k_{1}-1,k_{2},k_{3},\dots ,k_{p}}+{n-1 \choose k_{1},k_{2}-1,k_{3},\dots ,k_{p}}+\cdots +{n-1 \choose k_{1},k_{2},k_{3},\dots ,k_{p}-1}\\&={\frac {(n-1)!}{(k_{1}-1)!k_{2}!k_{3}!\cdots k_{p}!}}+{\frac {(n-1)!}{k_{1}!(k_{2}-1)!k_{3}!\cdots k_{p}!}}+\cdots +{\frac {(n-1)!}{k_{1}!k_{2}!k_{3}!\cdots (k_{p}-1)!}}\\&={\frac {k_{1}(n-1)!}{k_{1}!k_{2}!k_{3}!\cdots k_{p}!}}+{\frac {k_{2}(n-1)!}{k_{1}!k_{2}!k_{3}!\cdots k_{p}!}}+\cdots +{\frac {k_{p}(n-1)!}{k_{1}!k_{2}!k_{3}!\cdots k_{p}!}}={\frac {(k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{p})(n-1)!}{k_{1}!k_{2}!k_{3}!\cdots k_{p}!}}\\&={\frac {n(n-1)!}{k_{1}!k_{2}!k_{3}!\cdots k_{p}!}}={\frac {n!}{k_{1}!k_{2}!k_{3}!\cdots k_{p}!}}={n \choose k_{1},k_{2},k_{3},\dots ,k_{p}}.\end{aligned}}}
Véase también [ editar ] Referencias [ editar ]
↑ Brualdi, Richard A. (2010), Introductory Combinatorics (5th edición), Prentice-Hall, p. 44, ISBN 978-0-13-602040-0 ↑ Brualdi, Richard A. (2010), Introductory Combinatorics (5th edición), Prentice-Hall, p. 144, ISBN 978-0-13-602040-0 Enlaces externos [ editar ] 
![{\displaystyle {\begin{aligned}{n-1 \choose k}+{n-1 \choose k-1}&={\frac {(n-1)!}{k!(n-1-k)!}}+{\frac {(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}}\\&=(n-1)!\left[{\frac {n-k}{k!(n-k)!}}+{\frac {k}{k!(n-k)!}}\right]\\&=(n-1)!{\frac {n}{k!(n-k)!}}\\&={\frac {n!}{k!(n-k)!}}\\&={\binom {n}{k}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d348389186612f23ba1949234a48a43f0c311ef)
Datos: Q17099544